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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.3. Usando el método de sustitución, calcular las siguientes integrales:
f) ∫2xdx\int 2^{x} d x

Respuesta

Apa, qué tenemos acá? 

∫2xdx\int 2^{x} d x

Si acá nos hubiera aparecido ee en vez de 22, no hubiéramos tenido drama, la integrábamos sin problema porque las vimos en la tabla. Ahora, ¿tenemos una forma más general para poder integrar cualquier número elevado a la xx? Seguime en esto. Vamos primero a reescribir nuestra función a integrar así:

2x=(eln⁡(2))x=exln⁡(2) 2^x = (e^{\ln(2)})^x = e^{x\ln(2)}

Ahora, tomamos la siguiente sustitución: u=xln⁡(2) u = x\ln(2)
du=ln⁡(2) dx⇒  duln⁡(2)=dx du = \ln(2) \, dx \quad \Rightarrow \; \frac{du}{\ln(2)} = dx Reemplazamos en la integral: ∫2x dx=∫exln⁡(2) dx=∫eu duln⁡(2)= 1ln⁡(2)∫eu du= 1ln⁡(2)eu+C  \int 2^x \, dx = \int e^{x\ln(2)} \, dx = \int e^u \, \frac{du}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)} \int e^u \, du = \frac{1}{\ln(2)} e^u + C 

Finalmente, reemplazamos uu de nuevo por xln⁡(2)x\ln(2): 1ln⁡(2)exln⁡(2)+C= 1ln⁡(2)2x+C \frac{1}{\ln(2)} e^{x\ln(2)} + C = \frac{1}{\ln(2)} 2^x + C

El resultado entonces es

∫2x dx=1ln⁡(2)2x+C \int 2^x \, dx = \frac{1}{\ln(2)} 2^x + C

En general, esta "fórmula" a que acabamos de llegar la podemos usar siempre que querramos integrar un número elevado a la xx. Entonces por ejemplo,

∫3x dx=1ln⁡(3)3x+C \int 3^x \, dx = \frac{1}{\ln(3)} 3^x + C

y así... 

Pregunta: ¿Qué pasa cuando el número es ee? ¿Se cumple que ∫exdx=ex\int e^x dx = e^x?
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